ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ

Изучая геометрию, вы, наверное, заметили, что некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналоги. Например: сторона треугольника — грань тетраэдра, длина стороны — площадь грани, вписанная окружность — вписанная сфера, описанная окружность — описанная сфера, площадь — объем, биссектриса угла — биссектор двугранного утла и т. п.

Эта аналогия — не только внешняя. Многие теоремы о треугольниках, если заменить в их формулировках планиметрические термины соответствующими стереометрическими и соответствующим образом «подправить» формулировки, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Несколько таких теорем мы и рассмотрим.

Первая пара теорем касается биссектрисы внутреннего угла треугольника и биссектора двугранного угла ( полуплоскость, делящая его на два равных по величине двугранных угла) тетраэдра:

Теорема 1. Биссектриса CD внутреннего угла треугольника ABC делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные его сторонам АС и ВС.

Теорема 2. Биссектор двугранного угла тетраэдра делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол.

Следующая пара позволяет проследить взаимосвязь между медианами треугольника в планиметрии и медианами тетраэдра в стереометрии:

Теорема 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая oт вершины.

Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины.

Последние теоремы касаются площадей треугольников, образовавшихся внутри большого треугольника за счет проведения параллельных сторонам прямых и объемов тетраэдров, также образовавшихся в результате проведения параллельных граням плоскостей в большом тетраэдре.

Теорема 5. Через произвольную точку О, взятую внутри треугольника АНС. проведены прямые, параллельные его сторонам. Если S₁, S₂, S₃ " площади образовавшихся при этом треугольников a S — площадь данного треугольника, то…

Теорема 6. Через произвольную точку, взятую внутри тетраэдра, проведены четыре плоскости, параллельные граням тетраэдра. Если V, V, Vз, V — объемы образовавшихся при этом тетраэдров, а V — объем данного тетраэдра, то…

Такие сходства большинства теорем разных разделов геометрии позволяет довольно быстро и просто решать стереометрические задачи, опираясь знания, полученные в результате изучения планиметрии. 

Автор:  Лебедева Мария, 11ЛН класс
Научный руководитель — Павлова Светлана Михайловна