ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение — далеко не все. Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Число золотого сечения можно приблизительно вычислить, разделив два соседних числа в ряде Фибоначчи (большее на меньшее). Термин золотое сечение был введен Леонардо да Винчи. Принципы золотого сечения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства.

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180–1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.

В век Фибоначчи Возрождение было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) Священной Римской империи. Он культивировал математические соревнования, на которых противники обменивались задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Покровительство Фридриха и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи.

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта (XVII в.). Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... называются « числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи.

Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1,1следующее число получается сложением двух предыдущих.

Hо почему эта последовательность так важна?

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако это соотношение иppационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (напpимеp, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1,61803398875... и через pаз то превосходящая, то не достигающая его. Hо даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Kpаткости ради мы будем приводить его в виде 1,618.

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Kеплеp назвал это соотношение одним из «сокровищ геометрии». В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи.

Человек подсознательно ищет Божественную пpопоpцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами — теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Разумеется, есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараонa Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески,написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Таковы в первом приближении возможности использования ряда Фибоначчи в разработке периодизации и общей хронологии развития человечества с древнейших времен и до начала современной эпохи. 

Автор:  Амиров Эльдар, 10ЛН класс
Научный руководитель — Павлова С.М.