Геометрия Лобачевского

Лобачевский Николай Иванович — русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Он родился в семье мелкого чиновника в Нижнем Новгороде 20.11(1.12).1792. Детство Лобачевского было суровым и трудным. Первые шаги и первые детские открытия Николая не встречали внимательных и восхищенных взглядов родителей: все силы семьи поглощала борьба с изнурительной вечной нуждой. Отец, уездный землемер, зарабатывал гроши. На жизнь всегда не хватало.

В 1802 году Прасковья Александровна Лобачевская перевезла семью из Нижнего Новгорода в Казань. Почти всю жизнь Лобачевский провел в Казани. В 1802 году он поступил в гимназию. Потянулись дни учения, долгие и похожие друг на друга. Лобачевский, как и все гимназисты, помещенные на казенное содержание — казеннокоштные, как они назывались,— жил в гимназии, бывшем губернаторском доме. Красивое трехэтажное белое здание под ярко-зеленой крышей, с колоннами и куполом, стояло на самом гористом месте Воскресенской улицы, и из окон во все стороны был виден город.

Лобачевский быстро втянулся в гимназическую жизнь и сдружился с товарищами. Он попал к талантливому и серьезному учителю математики, оценившему незаурядную одаренность мальчика. Георгий Иванович Карташевский помогал развитию таланта Николая. Его уроки проходили очень интересно. Он развертывал перед учениками историю геометрии еще со времен Древнего Египта, Ассирии, Вавилона, Греции. Карташевский пробудил в совсем еще маленьком Николае жгучий интерес к науке и не по-детски серьезное, ответственное отношение к ней. И он же заронил в Лобачевском стремление всегда во всем разобраться самому, не принимать на веру ничего, каким бы высоким авторитетом это не было освящено, каким бы несомненным не казалось. Посеянные Карташевским семена попали в благодатную почву. Позднее, когда пятнадцатилетний мальчик поступил в казанский университет, где он проучился с 1807 по 1811, его учителями стали профессора Бартельс, Броннер, Литераторов. Эти люди сумели создать в Казани передовую физико-математическую школу. В университете Лобачевский не только продолжал жадно и страстно изучать науки — всего усерднее точные — но уже и пытался искать собственные пути решения сложных задач. Профессора единодушно называли юношу лучшим студентом, гордостью университета. Он очень рано обнаружил выдающиеся способности, а по окончании университета получил степень магистра (в 1811) и был оставлен при университете. В 1814 Лобачевский стал адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Лобачевский изучал не только геометрию, он получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближенного решения уравнений (Лобачевского метод), в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции.

11 февраля 1825 года Лобачевский доложил о создании им новой геометрии. Никто, ни один человек, кроме самого докладчика, не понял, что в эти часы происходит крутой перелом в истории математики.

Чем же отличается геометрия Лобачевского от обычной геометрии Эвклида?

Основные теоремы геометрии Лобачевского настолько противоречат нашим, воспитанным в нас представлениям о пространстве, что вначале их трудно принять даже как условную гипотезу. Недаром те математики, которые, подобно Саккери, близко подошли к идеям неэвклидовой геометрии, боялись поверить в них до конца. Проследим тот логический путь, которым шла мысль Лобачевского.

Пятый постулат пытались вывести как теорему из остальных постулатов геометрии. Но и самые изощренные математики или допускали ошибку в доказательствах, или приходили к мысли о невыполнимости задачи. Что ж, может быть, пятый постулат действительно недоказуем? Но если это так, значит, он совершенно независим от остальных постулатов — от основ абсолютной геометрии.

Итак, нельзя доказать, что через точку, лежащую вне прямой, проходит на плоскости только одна параллельная прямая, а все прочие при своем продолжении данную прямую пересекут. Но если нельзя доказать, что верно это, то можно предположить, что верно обратное: па плоскости через точку, лежащую вне прямой, проходит не одна, а две, десять, сто или вообще бесчисленноемножество прямых, нигде не встречающих данную прямую...

Такое допущение и сделал Лобачевский.

Значит, вместо одной параллельной прямой, проходящей через данную точку, на плоскости Лобачевского их появилось бесконечное множество?

Прежде чем ответить, объясним возникновение нового геометрического образа — «плоскость Лобачевского». Выдвинув вместо пятого постулата Эвклида свое допущение, Лобачевский сразу расстался с привычным пространством эвклидовой геометрии, в рамках которой такому допущению просто не было места. Отвергнув обязательность пятого постулата, Лобачевский тем самым открыл существование пространства с особыми свойствами, совершенно не похожего на то привычное нам пространство, в котором протекает вся наша жизнь. О замечательных свойствах этого пространства и глубоком смысле геометрии Лобачевского пойдет речь впереди. Пространство Лобачевского, подобно пространству Эвклида, населяют различные геометрические образы. Так вот, плоскость, «живущая» в неэвклидовом пространстве и поэтому, естественно, подчиняющаяся законам новой геометрии, и называется «плоскостью Лобачевского».

Теперь вернемся к параллельным. Параллельными, говорил Эвклид, называются две прямые, расположенные в одной плоскости и не встречающиеся. Начертим обычную прямую и точку над ней, а из точки проведем веер прямых, расходящихся в разные стороны. Мы знаем, что на обычной — эвклидовой — плоскости только одна прямая из этого пучка будет параллельна исходной прямой, а остальные пересекутся с ней.

Перенесем мысленно наш чертеж на плоскость Лобачевского. Это можно сделать только мысленно: в том земном мире, где мы живем, нас непосредственно окружает пространство Эвклида, и всякое перенесение в него линий и других геометрических фигур неэвклидова пространства будет условным. Действительно, если на эвклидовой плоскости изобразить уже знакомый нам чертеж — прямую и над ней пучок проходящих через одну точку прямых, но на этот раз принадлежащий плоскости Лобачевского, то получится одно из двух: или множество проведенных через одну точку прямых, которые, согласно геометрии Лобачевского, не должны пересечь исходную прямую, пересекут ее на наших глазах, или, чтобы этого не случилось, прямые придется изображать в виде искривленных линий.

Если глубоко вдуматься, то во всем этом нет ничего удивительного; человек может вообразить или изобразить, вообще говоря, только то, что он наблюдает в природе. Зрительный образ прямых пространства Лобачевского чрезвычайно условен.

День 11 февраля оказался переломным и в судьбе Лобачевского. Отныне жизнь его пошла по двум разным руслам. До этого он чувствовал себя только ученым, теперь он понял, что становится еще и борцом за новую науку, за ее развитие, за ее признание. Путь, выбранный Лобачевским «так удачно», оказался тернистым.

Этот путь революционера в естествознании Лобачевский проделал совершенно одни. Тридцать лет в полном одиночестве исследовал он открывшийся ему мир новых представлений. У него не было спутников в трудном и долгом путешествии. В лучшем случае он встречал непонимание, а чаще всего — тупое пренебрежение косных академических кругов да грубые насмешки безграмотных писак. В 1834 году в журнале «Сын отечества» была опубликована статья о Лобачевском, далеко не положительная. В 1835 году Лобачевский опубликовал ответ вместе с мемуаром «Воображаемая геометрия». Но и после этого негативные отклики на его работы не прекратились, только один человек нашел в себе смелость выступить против всеобщего пренебрежения к новой геометрии.

31 мая 1842 года профессор Петр Иванович Котельников, декан физико-математического факультета Казанского университета, произнес речь, поддерживающую теорию Лобачевского. Неясно, разобрался ли Котельников в те годы или, быть может, позже в существовании неэвклидовой геометрии, но его речь прозвучала вызовом общественному мнению. Так или иначе, Котельников был единственным человеком, от которого Лобачевский услышал голос привета на своем долгом тернистом пути создателя новой науки. Также Лобачевский был великим педагогом и руководителем университета, на этом поприще он уже при жизни получил огромное уважение коллег и студентов, любовь и признательность многих воспитанников. Лобачевский был в течение девятнадцати лет бессменным ректором университета, и эти годы стали временем расцвета одного из лучших учебных заведений России. Казанский университет явился школой для многих великих людей. Здесь учились Лев Толстой, химики Бутлеров и Зинин, студентом этого университета был В.И.Ульянов.

Лобачевский строил Казанский университет не только в переносном, но и в буквальном смысле слова. Он наметил и осуществлял широкую программу строительства новых зданий и лабораторий и возглавлял строительный комитет. Не довольствуясь тем, что ему удалось привлечь к делу лучших архитекторов Поволжья, Лобачевский сам серьезно изучал архитектуру.

За пять лет были созданы астрономические обсерватории, физический кабинет, химическая лаборатория, анатомический театр, клиника, библиотека и типография.

Лобачевский обладал выдающимся организаторским талантом и твердой волей. Эти его качества, проявляясь повседневно, сослужили университету особую службу во время двух страшных событий, сохранившихся в памяти современников.

Один раз в Казани вспыхнула эпидемия холеры. Началась паника. Все, кто мог, бежали из города, оставшиеся запасались продуктами и поплотнее запирали свои ворота. Но все равно смерть собирала обильную жатву. Лобачевский распорядился немедленно прекратить всякую связь между городом и университетской территорией, на которой, по его приказу, поселились все студенты, профессора и остальные служащие университета. Без разрешения ректора никто не мог выйти за ворота. Пища и вода подвергались дезинфекции и строгому контролю. Заболевшие, а их из пятисот шестидесяти человек оказалось всего двенадцать, сразу же изолировались от здоровых. Такой строжайший режим царил до конца эпидемии. Воля и распорядительность Лобачевского спасли университет.

А в 1842 году ужасный пожар свирепствовал в Казани. Беда нависла и над университетом. Ректор не отлучался с места пожара и сам руководил всеми спасательными работами. Огонь грозил уничтожить библиотеку, которую Лобачевский в течение нескольких лет приводил в порядок. Все наиболее ценное студенты относили на окраину города. Рукописи и книги были спасены. Удалось отстоять и загоревшееся здание библиотеки. Только астрономическая обсерватория и магнитная станция сгорели дотла, но из них тоже успели вынести ценнейшие инструменты. Главное здание университета осталось невредимым.

Уход Николая Ивановича из университета словно открыл дорогу несчастьям. Простудившись, заболел скоротечной чахоткой и погиб его старший сын Алексей — самый любимый, похожий на отца, очень одаренный. Смерть сына стала таким ударом, от которого Лобачевский оправиться уже не смог.

Будто какой-то рок преследовал семью Лобачевских, отторгая от нее талантливых и лучших. А может, судьба посчитала, что, подарив миру гения, которому удалось свершить предназначенное, род Лобачевских должен расплатиться за такое. Конечно, это мистика... Но печальная правда такова, что Лобачевскому пришлось пережить не одну страшную потерю. Еще в 1807 году утонул в реке его старший брат Александр. Еще тогда он, пятнадцатилетний студент, заболел тяжелым нервным расстройством, но вскоре вернулся к прежней жизни. А старику после смерти сына не удалось преодолеть эмоциональный стресс. Лобачевский сразу почувствовал себя больным и разбитым. Он как-то быстро на глазах начал стареть и слепнуть.

Сначала ему удавалось скрывать свой недуг, но скоро слепота перестала быть тайной для окружающих.

Лобачевский умер непризнанным. Большую роль в признании трудов Николая Ивановича сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Казанский университет и физико-математическое общество провели большую работу по выявлению значения идей Лобачевского и изданию его геометрических сочинений. Широкое признание пришло к 100-летнему юбилею: была учреждена международная премия имени Лобачевского, а в 1896 году в Казани был открыт памятник великому русскому математику. 

Автор:  Качкаева М., 11ЛНА
Научный руководитель — Павлова С.М.