ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Для того, чтобы задать некоторую физическую величину, порой не бывает достаточно указать только ее числовое значение. Так, для таких физических величин, как сила, перемещение, скорость, импульс тела и т.д., помимо числового значения необходимо указать направление. Для этого используются векторные значения.

Цель данной работы — изучив историю и теорию векторного исчисления, в ходе решения геометрических задач доказать, что некоторые из них решаются более рационально векторным способом, чем методом координат, например.

Истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. Представление величин отрезками (конечно, не направленными) и зачатки геометрического исчисления мы находим в древнегреческой математике. Математики того времени (Пифагор, Евклид, Евдокс) попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Идея создания геометрического исчисления, близкого по смыслу к современному векторному исчислению, была впервые выдвинута в 1679 г. Лейбницем, хотя в XVII–XVIII вв. вопросам геометрии ученые большого внимания не уделяли. Однако фламандский ученый С. Стевин, изучая равновесие тел на наклонной плоскости, дошел до разложения силы на составляющие и открыл закон параллелограмма сил. Развитие настоящего векторного исчисления относится к XIX в. Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: геометрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных величин, встречаемых в естествознании) и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры). Начала исчисления направленных отрезков впервые были изложены уроженцем Норвегии Каспаром Весселем в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников». В этом труде он стремился построить «геометрическое исчисление», в котором алгебраическими методами можно было бы находить отрезки по величине и направлению. Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с трудами У. Гамильтона и Г. Грассмана «Лекции о кватернионах» и «Учение о протяженности» соответственно. В создании вышеуказанных трудов большую роль сыграли запросы естествознания. Третий путь развития учения о векторах отразился в трудах французского ученого-механика Сен-Венана и видного русского ученого И.И. Сомова («Рациональная механика»), а также в работах выдающегося английского физика Джемса Кларка Максвелла. В последней четверти XIX столетия происходит синтез трех путей (геометрического, алгебраического и физического) исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики.

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом. Векторы называются равными, если — они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Пусть а — данный вектор, М — данная точка. Проведем через начало и конец вектора а и точку М плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = а. Oчевидно, что вектор MN искомый. Из построения ясно также, что MN — единственный вектор с началом М, равный вектору а. Сложение и вычитание векторов производится по правилу треугольника и параллелограмма. При осуществлении операций сложения векторов действуют те же законы, что и при сложении числовых значений (переместительный закон, сочетальный закон). Сложение нескольких векторов как в пространстве, так и на плоскости выполняется следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т.д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Вектора можно умножать на числовое значение. При этом справедливы те законы, которые используются при умножении числовых значений (сочетательный закон, первый и второй распределительный законы). Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны, а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. Любой вектор можно представить в виде с=ха+уb, где х и у определяются единственным образом. При этом все три вектора будут компланарны. Также любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, npuчем и здесь коэффициенты разложения определяются единственным образом (p=xa+yb+zc).

Таким образом, знание истории и теории векторного исчисления помогает при решении сложных математических и физических задач. Материалы нашей работы могут быть использованы на уроках математики и физики в 11 классах и при подготовке к поступлению в вуз.

Автор: Веселовский Алексей, Тегель Феликс, 11 класс
Научный руководитель: Павлова С.М., учитель математики