ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕЛА ПЛАТОНА

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками увлекались Пифагор (570-470 гг. до н.э.) и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях о существе мира.

Позже учение пифагорийцев изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ-идеалист Платон (427-347 гг. до н.э..) В трактате «Тимей» Платон изложил учение пифагорийцев о правильных многогранниках. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани — правильные равные многоугольники и все двугранные углы равны. В работе были рассмотрены некоторые свойства многогранников.

Почему правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечное число. Следующие теоремы могут послужить ответом на данный вопрос:

Теорема 1

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4d (360 °)

Теорема 2

Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Действительно, во-первых, число ребер, сходящихся в каждой вершине правильного многогранника, не может быть более пяти и, во-вторых, число сторон правильных многоугольников, образующих грани правильного многогранника, не может быть более пяти.

В 1752 году Леонардом Эйлером была доказана знаменитая теорема о числе граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) выпуклого многогранника. Простота этой теоремы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение

Г + В – Р = 2, где Г — число граней. В — число вершин и Р — число ребер данного многогранника.

Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Наиболее интересным нам представляется способ, предложенный Л.Н. Бескиным.

Применение теоремы Эйлера на практике нами рассмотрено на примере решения двух задач.

Пара правильных многогранников, для которых число вершин одного равно числу граней другого называются двойственными. Куб и октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — двойственные многогранники. Тетраэдр двойственен самому себе.

Двойственные правильные многогранники могут быть получены один из другого следующим способом: центры граней одного являются вершинами другого. Это свойство используется при построении правильных многогранников

Правильные многогранники самые красивые и распространенные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий — тетраэдра, бор — икосаэдра.

Правильные многогранники открыли нам удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами и показали неотразимую привлекательность геометрии. 

Автор:  Швыркалина Наталья, 10 ЛТ класс.
Научный руководитель: Павлова С.М., учитель математики.